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关于优化理论（一）：优化的基本问题与理论

由于工作需要逐步的开始接触优化控制相关的内容，为了厘清一些基本的理论和整个优化理论的全貌，边学习边更新这一些列的文章作为笔记，同时也分享给正在学习这方面内容的同学，如有谬误，还请多多指正，欢迎转发评论

关于优化问题：

优化意味着让某一个事物更好或者最好，在生活中我们可能有很多定性的标准来评价什么是好什么是不好。但是在数学上，我们只能通过一个数学表达式计算出一个准确的数字来评价，而这个数学表达式就是代价函数或者成本函数

我们生活的世界是3维的，而数学的世界多维的，数学世界中的一个变量我们记为 $x$ ，如果我们关注的维度是n维的，那这个变量就可以用一个n维变量表示

$x^{T}=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]$

另一方面我们生活的世界是变化的，而在数学的世界中，我们使用微分来表示这种变化

$\\dot{x}=dx/dt$

因此我们引入一个函数 $f(x.\\dot{x})$ 作为变量x的动态过程的评价指标

因此我们评价一个时间段[ $t_{0},t_{f}$ ]内 $x$ 的动态过程，可以用如下成本函数来表示

$J=\\int_{t_{0}}^{t_{f}}f(x,\\dot{x})dt$

以上为一个优化问题的基本形式

基本的优化理论：

为使上述成本函数最小，基本的手段是变分法：

上述成本函数在最优解 $x^{*}$ 处取得极小值的处分条件是成本函数在 $x^{*}$ 处的变分 $\\Delta J$ 为0，求成本函数 $J$ 的变分，既欧拉-拉格朗日方程：

$\\frac{\\delta{f}}{\\delta{x}}-\\frac{d}{dt}(\\frac{\\delta{f}}{\\delta{\\dot{x}}})=0$

虽然变分法存在一些缺陷，但是作为优化理论的基础做一些简单的回顾，可以让我们对整个优化理论的发展有一个清晰的认识。以上是优化问题的提出和解决优化问题的基本理论依据，后续将逐步由简入繁厘清优化理论的脉络和全貌

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